Авторизация
Забыли пароль? Введите ваш е-мейл адрес. Вы получите письмо на почту со ссылкой для восстановления пароля.
После регистрации вы можете задавать вопросы и отвечать на них, зарабатывая деньги. Ознакомьтесь с правилами, будем рады видеть вас в числе наших экспертов!
Вы можете войти или зарегистрироваться, чтобы добавить ответ и получить бонус.
Теорема косинусов утверждает, что в треугольнике со сторонами a, b и c и углами α, β и γ соответственно, справедливо следующее равенство:
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab * cos(γ)
Чтобы доказать эту теорему, можно использовать закон косинусов, который утверждает, что для любого треугольника с сторонами a, b и c и углом γ между сторонами a и b, справедливо следующее равенство:
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab * cos(γ)
Для доказательства теоремы косинусов, следует выполнить следующие шаги:
1. Нарисовать треугольник ABC с сторонами a, b и c и углами α, β и γ соответственно.
2. Рассмотреть треугольник ABD, где AD — высота, опущенная из вершины A на сторону BC.
3. Используя теорему Пифагора для треугольников ABD и ACD, получить следующие равенства:
AB^2 = AD^2 + BD^2
AC^2 = AD^2 + CD^2
4. Вычесть второе равенство из первого:
AB^2 — AC^2 = BD^2 — CD^2
5. Заметить, что BD = b * cos(γ) и CD = a * cos(β), и заменить их в предыдущем равенстве:
AB^2 — AC^2 = b^2 * cos^2(γ) — a^2 * cos^2(β)
6. Заметить, что AB = c * cos(β) и AC = c * cos(γ), и заменить их в предыдущем равенстве:
(c * cos(β))^2 — (c * cos(γ))^2 = b^2 * cos^2(γ) — a^2 * cos^2(β)
7. Упростить равенство:
c^2 * cos^2(β) — c^2 * cos^2(γ) = b^2 * cos^2(γ) — a^2 * cos^2(β)
c^2 * (cos^2(β) — cos^2(γ)) = b^2 * cos^2(γ) — a^2 * cos^2(β)
c^2 * (cos^2(β) — cos^2(γ)) = b^2 * (1 — sin^2(γ)) — a^2 * (1 — sin^2(β))
c^2 * (cos^2(β) — cos^2(γ)) = b^2 — b^2 * sin^2(γ) — a^2 + a^2 * sin^2(β)
c^2 * (cos^2(β) — cos^2(γ)) = b^2 — a^2 + a^2 * sin^2(β) — b^2 * sin^2(γ)
c^2 * (cos^2(β) — cos^2(γ)) = a^2 * (1 — sin^2(β)) — b^2 * (1 — sin^2(γ))
c^2 * (cos^2(β) — cos^2(γ)) = a^2 * cos^2(β) — b^2 * cos^2(γ)
c^2 * cos^2(β) — c^2 * cos^2(γ) = a^2 * cos^2(β) — b^2 * cos^2(γ)
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab * cos(γ)
Таким образом, теорема косинусов доказана.
Напишите, почему вы считаете данный ответ недопустимым: