Авторизация
Забыли пароль? Введите ваш е-мейл адрес. Вы получите письмо на почту со ссылкой для восстановления пароля.
После регистрации вы можете задавать вопросы и отвечать на них, зарабатывая деньги. Ознакомьтесь с правилами, будем рады видеть вас в числе наших экспертов!
Вы можете войти или зарегистрироваться, чтобы добавить ответ и получить бонус.
Пусть ABCD — параллелограмм, и пусть AC и BD — его диагонали. Пусть M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Тогда AM и CN — биссектрисы углов A и C соответственно.
Докажем, что AM и CN перпендикулярны.
Рассмотрим треугольники ADC и BCD. Они равны по двум сторонам и углу, так как AB || CD и BC || AD. Поэтому у них равны их углы при вершине D.
Пусть O — точка пересечения AM и CN. Тогда треугольники ADO и CBO равны по двум сторонам и углу, так как OD = OD (общая сторона), AD = BC (стороны параллелограмма), и угол AOD = угол COD (так как AM и CN — биссектрисы углов A и C). Поэтому у них равны их углы при вершине O.
Таким образом, у треугольников ADO и CBO равны все углы, поэтому эти треугольники подобны. Значит, у них противоположные стороны параллельны. В частности, AD || CO и BC || AO.
Так как AD || CO, то угол ADC = угол OCB (по свойству параллельных прямых и пересекающихся между собой прямых). Также угол ADC = угол BCD (так как ABCD — параллелограмм). Значит, угол OCB = угол BCD.
Аналогично, так как BC || AO, то угол BCD = угол OAD. Также угол BCD = угол ADC. Значит, угол OAD = угол ADC.
Таким образом, угол OCB = угол BCD = угол OAD = угол ADC. Значит, треугольники OCB и OAD равны по трем углам. Поэтому их четвертые углы прямые, то есть угол OBC = 90 градусов и угол OAD = 90 градусов.
Таким образом, AM и CN перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Напишите, почему вы считаете данный ответ недопустимым: